Persamaan Garis Lurus

Garis lurus merupakan grafik suatu fungsi linier. Jika f adalah fungsi linier dengan rumus f(x) = ax + b, untuk a, b Є R, maka persamaan garfik fungsi f adalah y = ax + b. Jadi y = ax + b tiada lain dari pada persamaan suatu garis lurus. Perhatikan persamaan garis lurus y = ax + b, dengan a, b Є R, maka a disebut gradien/kecondongan garis/koefisien arah dari garis tersebut. Jika α adalah besar sudut antara garis tersebut dengan sumbu X (diukur berlawanan arah putaran jarum jam), maka berlaku tg α = a, dimana 0° ≤ α ≤ 180°. Sedangkan (0,b) adalah titik potong garis dengan sumbu Y.

Kadang-kadang persamaan garis lurus ditulis dalam bentuk implisit, seperti: Ax + By C = 0, dimana A dan B tidak sekaligus sama dengan nol.
Bentuk Ax + By + C = 0 dapat diubah menjadi y= – A/B x – C/B.
Bila kita bandingkan penulisannya dengan y = ax + b, maka a = -A/B dan b = -C/B untuk B ≠ 0

Suatu Garis Lurus dapat ditentukan oleh:
1. Satu titik pada garis itu dan koefisien arahnya.
Misalkan P(x1 , y1) adalah titik yang dilalui oleh garis p, sedangkan a adalah gradien garis p. Andaikan persamaan garis p adalah y = ax + b. Selanjutnya, karena titik P(x1 , y1) berada pada garis p, maka berlaku y1 = ax1 + b. Perhatikan sistem persamaan linier (SPL) berikut, kemudian eleminasi b:
y = ax + b
y = ax1 + b
———— –
(y – y1) = a(x – X1)
Jadi persamaan garis lurus p yang melalui titik P(x1 , y1) dengan gradien a adalah y – y1 = a(x – x1)

2. Dua titik yang tidak berimpit.

Misalkan P(x1 , y1) dan Q(x2 , y2) adalah dua titik pada garis g, dan andaikan
persaman garis lurus g adalah y = ax + b …….(I)
Karena P(x1 , y1) pada g, maka y1 = ax1 + b …….(II)
Karena Q(x2 , y2) pada g, maka y2 = ax2 + b …….(III)
Selanjutnya eleminir b dari (I) dan (II), serta dari (II) dan (III)
y = ax + b                                  dan                           y2 = ax2 + b
y1 = ax1 + b                                                                y1 = ax1 + b
————– –                                                                —————-   –
(y – y1) = a(x – x1)                                                   (y2 – y1) = a (x2 – x1)
a = (y – y1)/(x – X1)….(IV)                                   a = (y2 – y1)/(x2 – x1) ….(V)

Dari (IV) dan (V), diperoleh a = a, atau
(y – y1)/(x – x1) = (y2 – y1)/(x2 – x1) → (y – y1)/(y2 – y1) = (x – x1)/(x2 – x1)
Jadi persamaan garis lurus g yang melalui titik P(x1 , y1) dan Q(x2 , y2) adalah
(y – y1)/(y2 – y1) = (x – x1)/(x2 – x1) ……(VI)
Selanjutnya persamaan (VI) dapat ditulis menjadi
(y – y1) = {(y2 – y1)/(x2 – x1)} (x – x1) …….(VII)
Bentuk (y2 – y1)/(x2 – x1) pada persamaan VII merupakan gradien garis g yang melalui titik P dan Q tadi. Bila mPQ menyatakan gradien garis yang melalui titik P(x1 , y1) dan Q(x2 , y2), maka  mPQ = (y2 – y1)/(x2 – x1)

Contoh

1. Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P(-3,5) dengan gradien -2/3. Kemudian tulislah persamaan garis tersebut dalam bentuk implisit!

Jawab:
Persamaan garis g adalah
y – y1 = a(x – x1)
y – 5 = -2/3(x +3)
3(y – 5) = -2(x + 3)
2x + 3y = 9
Dalam bentuk implisit ditulis 2x + 3y – 9 = 0

2. Ditentukan titik P(-3,4) dan Q(-1,1). Tentukan gradien garis yang melalui titik P dan Q. Tulislah pula persamaan garis g yang melalui P dan Q!

Jawab:
Gardien garis g yang melalui P dan Q adalah:
mPQ = (y2 – y1)/(x2 – x1)
mPQ = (1 – 4)/(-1 + 3)
mPQ = -3/2
Persamaan garis g yang melalui titik P dan Q adalah
(y – y1)/(y2 – y1) = (x – x1)/(x2 – x1)
(y – 4)/(1 – 4) = (x + 3)/(-1 + 3)
2(y – 4) = -3(x + 3)
2y + 3x + 1 = 0

Posted on November 23, 2011, in Garis Lurus Dimensi 2. Bookmark the permalink. Tinggalkan komentar.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s